V?it?s: 9.2.2019 Ennenn?kem?tt?mi? tuloksia monimarginaalisen massansiirron alalta (Kausamo)

Optimaalisella massansiirrolla on pitk? historia, joka alkaa 1700-luvulla ranskalaisen Gaspard Mongen tutkimuksista. Tietoa on viime aikoina k?ytetty menestyksekk??sti esimerkiksi metristen avaruuksien geometrian, isoperimetristen ongelmien ja osittaisdifferentiaaliyht?l?iden tutkimiseen ja alan tutkijoita on palkittu matematiikan arvostetuimmalla palkinnolla, Fieldsin mitalilla, vuonna 2018 (Alessio Figalli) ja 2010 (Cédric Villani). Yleisin massansiirrossa tutkittava asetelma on kahden marginaalin tapaus, jossa minimoitavana on siirtohinta, joka usein ilmaistaan integraalina funktiosta siirtoet?isyyksien yli. T?ss? kyseinen funktio kuvaa siirtoet?isyyden luomaa kustannusta. Peruskysymyksen? on hinnan minimoivan siirron rakenne - erityisesti se, onko siirto kuvauksen antama ja mit? voidaan sanoa kuvauksen s??nn?llisyydest?.

?

Sovellus elektronien vuorovaikutukseen

Anna Kausamon matematiikan alan v?it?skirjatutkimus on monimarginaalisen massansiirron alalta, jossa l?ht?- ja maalimitan sijaan otetaan useampi mitta, jotka pyrit??n optimaalisesti kytkem??n toisiinsa. Kytkemisell? ei ole ilmeist? tulkintaa optimaalisena siirtona vaan intuitio l?ytyy pikemminkin sovelluksista, joista er?s on elektronien kytkent? voimakkaassa vuorovaikutuksessa.

- T?ll?in hintafunktiona on parittaisten et?isyyksien k??nteislukujen summa, mik? antaa niin sanotun Coulomb-hinnan. Ongelman minimoija kertoo annetun potentiaalin rajoittamien elektronien asetelman, kun elektronien liikett? ei oteta huomioon. Esimerkiksi t?ss? tapauksessa ei ole tiedossa, onko asetelma aina deterministinen, selvent?? Anna Kausamo.

Uusi todistus, vastaesimerkki ja tulos

V?it?stutkimuksessa tarkastellaan monimarginaaliseen massansiirtoon liittyvi? peruskysymyksi?: duaaliformulaatioita, optimaalisten kuvausten olemassaoloa, entropista siloitusta ja arvioita optimaalisten siirtojen et?isyyksille.

- Tarkastelen v?it?sty?ss?ni monimarginaalisia ongelmia yleisiss? metrisiss? avaruuksissa. Todistan duaalikaavan hintafunktioille, jotka eiv?t ole v?ltt?m?tt? alhaalta eiv?tk? ylh??lt? rajoitettuja. Lis?ksi esit?n vastaesimerkin optimaalisen kuvauksen olemassaololle Euklidisissa avaruuksissa hylkiv?lle harmoniselle hinnalle marginaalien lukum??r?n ollessa kolme. Kyseess? on ensimm?inen vastaesimerkki fyysisesti relevantilla hintafunktiolla absoluuttisesti jatkuville mitoille, kertoo Kausamo.

Lis?ksi Kausamo on v?it?sty?ss??n tarkastellut optimaalisen massansiirron entropista siloitusta.? Kyseess? on numeerisesti tehokas tapa arvioida optimaalista siirtoa. Yksi v?it?skirjan p??tuloksista antaa t?lle arviolle matemaattisen perusteen: siloitettu ratkaisu gamma-konvergoi siloittamattomaan ratkaisuun.

- Tulokseni on uusi jopa Euklidisten avaruuksien osajoukoille, t?sment?? Kausamo.

FM Anna Kausamon matematiikan v?it?skirjan ”On the structure of multi-marginal optimal mass transportation in metric spaces” tarkastustilaisuus lauantaina 9.2.2019 klo 12:00 Seminaarim?en salissa H320. Vastav?itt?j?n? toimii apulaisprofessori Andrea Mondino (University of Warwick, Iso-Britannia) ja kustoksena Tapio Rajala (Jyv?skyl?n yliopisto). V?it?stilaisuus on englanninkielinen.

Lis?tietoja:

• Anna Kausamo, anna.m.kausamo@www.beijingaz.com
• Tiedottaja Elina Leskinen, viestinta@www.beijingaz.com, 050 581 8351

V?it?skirja verkossa:?http://urn.fi/URN:ISBN:978-951-39-7678-1